Question

在△ABC中，∠A=60°，M是AB的中點(diǎn)，若|AB|=2，|BC|=2

3

，D在線段AC上運(yùn)動(dòng)，則下面結(jié)論正確的是

①②④

．
①△ABC是直角三角形；   
②

DB

•

DM

的最小值為

23

16

；
③

DB

•

DM

的最大值為2；   
④存在λ∈[0，1]使得

BD

=λ

BA

+（1-λ）

BC

．

Answer 1

分析：①根據(jù)余弦定理②③④

解答：解：①設(shè)|AC|=x，則由余弦定理得（2

3

）=2²+x²-2×2xcos60°，
即12=4+x²-2x，
∴x²-2x-8=0，解得x=4或x=-2（舍去），
∴|AC|=4，∴∠B=90°，即①△ABC是直角三角形，∴①正確．
②將直角三角形ABC放入坐標(biāo)系中，
則B（0，0），A（0，2），M（0，1），C（2

3

，0），
則

AC

=(2

3

，-2)，
設(shè)

AD

=m

AC

=(2

3

m，-2m)，0≤m≤1，設(shè)D（x，y），
則（x，y-2）=（2

3

m，-2m），
解得x=2

3

m，y=2-2m，
即D（2

3

m，2-2m）．
則

DB

=(-2

3

m，2m-2)，

DM

=(-2

3

m，2m-1)，
∴

DB

•

DM

=（-2

3

m）²+（2m-2）（2m-1）=16m²-6m+2=16（m-

3

16

） 2+

23

16

，
∴當(dāng)m=

3

16

時(shí)，

DB

•

DM

的最小值為

23

16

，∴②正確．
③由②知

DB

•

DM

=）=16m²-6m+2=16（m-

3

16

） 2+

23

16

，
∵0≤m≤1，∴當(dāng)m=1時(shí)，

DB

•

DM

的最大值為16-6+2=12，∴③錯(cuò)誤．
④∵

BD

=(2

3

m，2-2m)，

BA

=（0，2），

BC

=（2

3

，0），
若

BD

=λ

BA

+（1-λ）

BC

．
則（2

3

m，2-2m）=λ（0，2）+（1-λ）（2

3

，0），
即

2 3 m=(1-λ)•2 3 2-2m=2λ

，
解得

m=1-λ 1-m=λ

，此時(shí)λ=1-m，
∵0≤m≤1，
∴0≤λ≤1，
即存在λ∈[0，1]使得

BD

=λ

BA

+（1-λ）

BC

．
∴④正確．
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，以及數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)條件將三角形放入平面直角坐標(biāo)系中，利用坐標(biāo)法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．