Question

經過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F的直線L與橢圓交于A、B兩點，M是線段AB的中點，直線AB與直線OM（O是坐標原點）的斜率分別為k、m，且km=．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）已知k=，連接OM并延長交橢圓于點C，若四邊形OACB恰好是平行四邊形，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出直線AB的方程代入橢圓方程，利用韋達定理、中點坐標公式，可求m、km，利用km=，即可求b的值；
（Ⅱ）根據OACB是平行四邊形，可得，從而可求C的坐標，利用C在橢圓上，即可求得橢圓的方程．
解答：解：（Ⅰ）設直線AB的方程為y=k（x-c），代入橢圓方程，消元可得
（a²k²+b²）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²b²=0，…（2分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），則，m=，…（4分）
∴x=，y=k（x-c）=-
∴m==-，∴km=-；
又∵km=，∴b=1；                       …（6分）
（Ⅱ）∵OACB是平行四邊形，則，…（8分）
∴x_c=x₁+x₂=2x==，y_c=y₁+y₂=2y=，
∵C在橢圓上，∴，…（10分）
整理得4c²=a²+8，
∵c²=a²-1，∴a²=4，
∴橢圓的方程是．                    …（12分）
點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，直線與橢圓聯立，利用韋達定理解題是關鍵．