Question

過橢圓的左焦點(diǎn)F作斜率為k（k≠0）的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，使得AB的中點(diǎn)M在直線x+2y=0上．
（1）求k的值；
（2）設(shè)C（﹣2，0），求tan∠ACB．

Answer 1

解：（1）由橢圓方程，a= ，b=1，c=1，則點(diǎn)F為（﹣1，0）．
直線AB方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，得（2k²+1）x²+4k²x+2k²﹣2=0．①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
則 x₀= =﹣ ，y₀=k（x₀+1）= ，
由點(diǎn)M在直線x+2y=0上，知﹣2k²+2k=0，
∵k≠0， ∴k=1．
（2）將k=1代入①式，得3x²+4x=0，不妨設(shè)x₁＞x₂，則x₁=0，x₂=﹣ ，
記α=∠ACF，β=∠BCF，則 tanα= = = ，tanβ=﹣ =﹣ = ，
∴α=β， ∴tan∠ACB=tan2α= = ．