Question

如圖，已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，D是AC中點．（1）證明AB₁∥平面DBC₁；（2）假設AB₁⊥BC₁，求以BC₁為棱，DBC₁與CBC₁為面的二面角α的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證AB₁∥平面DBC₁，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AB₁與平面DBC₁內一直線平行，根據等腰三角形可知DE∥AB₁，又AB₁∉平面DBC₁，DE?平面DBC₁，滿足定理所需條件；
（2）作DF⊥BC，垂足為F，則DF⊥面B₁BCC₁，連接EF，則EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影，根據二面角的平面角的定義可知∠DEF是二面角α的平面角，然后在三角形DEF中求出∠DEF即可．
解答：（1）證明：
∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，∴四邊形B₁BCC₁是矩形．
連接B₁C交BC₁于E，則B₁E=EC．連接DE．
在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁．
又AB₁∉平面DBC₁，DE?平面DBC₁，∴AB₁∥平面DBC₁．

（2）解：作DF⊥BC，垂足為F，
則DF⊥面B₁BCC₁，連接EF，
則EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影．
∵AB₁⊥BC₁，
由（1）知AB₁∥DE，∴DE⊥BC₁，則BC₁⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．
設AC=1，則DC=．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，
DF=DC•sinC=，CF=DC•cosC=．取BC中點G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．
在Rt△BEF中，
EF²=BF•GF，又BF=BC-FC=，GF=，
∴EF²=•，即EF=．∴tan∠DEF=．∴∠DEF=45°．
故二面角α為45°．
點評：本小題考查空間線面關系、正棱柱的性質、空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．