Question

設函數f（x）=lnx，且x₀，x₁，x₂∈（0，+∞），下列命題：
①若x₁＜x₂，則

1

x2

＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

②存在x₀∈（x₁，x₂），使得

1

x0

=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

③若x₁＞1，x₂＞1，則

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜1
④對任意的x₁，x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

其中正確的是

②③④

．（填寫序號）

Answer 1

分析：①利用割線的斜率判斷．②利用割線的斜率判斷．③利用割線的④利用函數的凸凹性判斷．

解答：解：因為

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，表示x₁與x₂兩點的斜率，
①不妨設x1=

1

2

，x2=1，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

ln? 1 2 -ln?1

1 2 -1

=2ln?2＞1，若x=1，則

1

x2

=1，此時

1

x2

＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

不成立．
所以①錯誤．
f′(x)=

1

x

，則f′(x0)=

1

x0

，表示在x=x₀處的切線斜率，由圖象可知過x₁與x₂兩點的割線和過x₀點的切線可能平行，
所以②正確．
③因為函數的導數為f′(x)=

1

x

，當x＞1時，f′(x)=

1

x

＜1，即此時切線的斜率小于1，所以對應的割線的斜率也小于1，所以

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜1成立，所以③正確．
④滿足f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

的函數為凸函數，所以④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查了導數的幾何意義以及函數的圖象等有關知識，利用數形結合是解決本題的關鍵．