Question

已知函數f（x）=

x-1

x-2

（x≠2），g（x）=3sinπx+1（0＜x＜4），y=f（x）與y=g（x）的圖象所有交點的橫坐標之和為

 

．

Answer 1

分析：根據函數f（x）和g（x）的表達式得到兩個函數都關于點（2，1）對稱，然后利用數形結合即可得到結論．

解答：解：∵f（x）=

x-1

x-2

=

x-2+1

x-2

=1+

1

x-2

，
∴函數f（x）關于點（2，1）對稱．
∵函數y=3sinπx關于點（2，0）對稱，
∴g（x）=3sinπx+1（0＜x＜4）也關于點（2，1）對稱，
作出函數f（x）和g（x）的圖象，可以y=f（x）與y=g（x）的圖象有四個交點，
它們彼此都關于點（2，1）對稱，
設關于對稱的兩個點的橫坐標分別為a，b和c，d，
則

a+b

2

=2，

c+d

2

=2，
即a+b=4，c+d=4，
∴a+b+c+d=4+4=8，
故答案為：8．

點評：本題主要考查函數圖象相交問題，根據函數的表達式判斷函數f（x）和g（x）關于點（2，1）對稱是解決本題的關鍵，利用數形結合是解決此類問題的基本方法．