Question

若函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的圖象的一條對(duì)稱軸方程是x=

π

4ω

，函數(shù)f^′（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（

π

8

，0），則f（x）的最小正周期是

π

．

Answer 1

分析：根據(jù)兩角和與差的正弦公式整理函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是正負(fù)

a2+b2

，代入數(shù)值兩邊平方，得到a=b，寫(xiě)出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱中心，得到ω的值，求出最小正周期．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin（ωx+φ）
圖象的一條對(duì)稱軸方程是x=

π

4ω

，
∴把

π

4ω

代入，得到

2

2

a+

2

2

b=±

a2+b2

兩邊平方得到a=b，
∴f（x）=asinωx+acosωx=

2

asin（ωx+

π

4

）
∵函數(shù)f^′（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（

π

8

，0），
∴f^′（x）=

2

aωcos（ωx+

π

4

）過(guò)（

π

8

，0），
∴

π

8

ω+

π

4

=kπ+

π

2

，
又∵0＜ω＜5，
∴k=0時(shí)，ω=2符合題意
∴函數(shù)的最小正周期是

2π

2

=π
故答案為：π

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用輔助角公式把函數(shù)化簡(jiǎn)為同一個(gè)角的三角函數(shù)，本題解題的關(guān)鍵是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，代入可以求出ω的值，根據(jù)對(duì)稱軸可以求出a，b相等的條件，本題是一個(gè)中檔題目．