Question

設各項均為正數的數列{a_n}滿足．
（Ⅰ）若，求a₃，a₄，并猜想a_2cos的值（不需證明）；
（Ⅱ）記b_n=a₃a₂…a_n（n∈N*），若b_n≥2對n≥2恒成立，求a₂的值及數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可知，由此可猜想|a_n|的通項為a_n=2^（-2）n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）令x_n=log₂a_n，S_n表示x_n的前n項和，則b_n=2^S_n．由題設知x₁=1且；．由此入手能夠求出a₂的值及數列{b_n}的通項公式．
解答：解：（Ⅰ）因a₁=2，a₂=2^-2，故，

由此有a₁=2^（-2）0，a₂=2^（-2）2，a₃=2^（-2）2，a₄=2^（-2）3，、
故猜想|a_n|的通項為a_n=2^（-2）n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）令x_n=log₂a_n，S_n表示x_n的前n項和，則b_n=2^S_n．
由題設知x₁=1且；①
．②
因②式對n=2成立，有．③
下用反證法證明：．
由①得．
因此數列|x_n+1+2x_n|是首項為x₂+2，公比為的等比數列．
故．④
又由①知，
因此是是首項為，公比為-2的等比數列，
所以．⑤
由④-⑤得．⑥
對n求和得．⑦
由題設知．
．
即不等式2^2k+1＜
對k∈N^*恒成立．但這是不可能的，矛盾．
因此x₂≤，結合③式知x₂=，因此a₂=2^*2=．
將x₂=代入⑦式得
S_n=2-（n∈N*），
所以b_n=2^S_n=2^2-（n∈N*）
點評：本題考查數列性質的綜合運用，解題時要認真審題．仔細解答，避免出錯．