Question

（2013•浙江）設(shè)

e1

、

e2

為單位向量，非零向量

b

=x

e1

+y

e2

，x、y∈R．若

e1

、

e2

的夾角為30°，則

|x|

| b |

的最大值等于

2

．

Answer 1

分析：由題意求得 

e1

•

e2

=

3

2

，|

b

|=

b 2

=

x2+ 3 xy+y2

，從而可得 

|x|

|b|

=

|x|

x2+ 3 xy+y2

=

x2 x2+ 3 xy+y2

=

1 ( y x + 3 2 )2+ 1 4

，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得

|x|

|b|

的最大值．

解答：解：∵

e1

、

e2

 為單位向量，

e1

和

e2

的夾角等于30°，∴

e1

•

e2

=1×1×cos30°=

3

2

．
∵非零向量

b

=x

e1

+y

e2

，∴|

b

|=

b 2

=

x2+2xy e1 • e2 +y2

=

x2+ 3 xy+y2

，
∴

|x|

|b|

=

|x|

x2+ 3 xy+y2

=

x2 x2+ 3 xy+y2

=

1 1+ 3 • y x +( y x )2

=

1 ( y x + 3 2 )2+ 1 4

，
故當(dāng)

y

x

=-

3

2

時(shí)，

|x|

|b|

取得最大值為2，
故答案為 2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求向量的模，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最大值，屬于中檔題．