Question

已知函數f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）試判斷當a，b為何值時，函數f（x）為偶函數；
（Ⅱ）當a=-

10

3

，b=0時，求函數f（x）在R上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用偶函數的定義，得到f（-x）=f（x），從而確定a，b．
（Ⅱ）利用函數的最值和導數的關系求出函數的最值．

解答：解：（Ⅰ）要使函數f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R）為偶函數，則f（-x）=f（x），
即x⁴-ax³+2x²+b=x⁴+ax³+2x²+b，解得a=0，b∈R時，函數為偶函數．                   …（5分）
（Ⅱ）f'（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4）．     …（6分）
當a=-

10

3

時，f'（x）=x（4x²-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）． …（7分）
令f'（x）=0，解得x₁=0，x2=

1

2

，x₃=2．  …（8分）
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，2)	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘	極小值	↗

∵f(0)=0，f(2)=-

8

3

∴當x=2時取得最小值-

8

3

…（14分）

點評：本題考查了函數奇偶性的應用，以及利用導數研究函數的最值問題，綜合性較強．