Question

已知等比數列{a_n}的首項、公比、前三項的平均值都等于常數a．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）設a≠1，n≥2，記．
（i）證明：；
（ii）若，求n的所有可能取值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由等比數列{a_n}的首項、公比、前三項的平均值都等于常數a，知a+a²+a³=3a，a≠0，由此能求出a．
（II）（i）a_n=（-2）ⁿ，=，由=．能夠證明．
（ii）由（i）知：，即，由此能求出n的所有可能取值．
解答：解：（I）∵等比數列{a_n}的首項、公比、前三項的平均值都等于常數a，
∴a+a²+a³=3a，a≠0，
∴a²+a-2=0，解得a=1，或a=-2，
故a_n=1，或．
（II）（i）a_n=（-2）ⁿ，=，
∵
=
=
=
=
=．
∴．
（ii）由（i）知：
，
即，
若n為奇數，則，舍去
若n為偶數，則，
即2ⁿ-1＜60，2ⁿ＜61＜64=2⁶，得n＜6，
故n=2或n=4．
點評：本題考查數列的綜合應用，綜合性強，難度大，具有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．