Question

已知函數f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+cos²

x

3

-

3

2

．
（1）將f（x）寫成f（x）=Asin（ωx+ψ）的形式，并求函數f（x）圖象對稱中心的橫坐標；
（2）如果△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac，且邊b所對的角為x，試求角x的范圍及此時函數f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，結合正弦函數的對稱中心、對稱軸方程求解即可；
（2）通過b²=ac，利用余弦定理求出cosx的范圍，然后求出x的范圍，求出

2

3

x+

π

3

的范圍，利用 f（x）=sin（

2

3

x+

π

3

）求出f（x）的最大值．

解答：解：f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos2

x

3

-

3

2

=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

-

3

2

=sin（

2x

3

+

π

3

）
令sin（

2x

3

+

π

3

）=0，?

2x

3

+

π

3

=π，解得：x=

3π

2

-

π

2

（k∈Z），

（2）cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

，
即cosx≥

1

2

，而x∈（0，π），所以x∈（0，

π

3

]，
又

2x

3

+

π

3

∈（

π

3

，

8π

9

]，sin（

2x

3

+

π

3

）∈[sin

8π

9

，1]，
所以f（x）的最大值為1．

點評：本題主要考查三角函數的最值和正弦函數的對稱性等知識點，熟練掌握三角函數的化簡求值，余弦定理的應用，正弦函數的值域的求法，考查計算能力．