Question

設P（a，b）（b≠0）是平面直角坐標系xOy中的點，l是經過原點與點（1，b）的直線，記Q是直線l與拋物線x²=2py（p≠0）的異于原點的交點
（1）若a=1，b=2，p=2，求點Q的坐標
（2）若點P（a，b）（ab≠0）在橢圓+y²=1上，p=，
求證：點Q落在雙曲線4x²-4y²=1上
（3）若動點P（a，b）滿足ab≠0，p=，若點Q始終落在一條關于x軸對稱的拋物線上，試問動點P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將直線方程與拋物線方程聯立姐方程求出交點坐標，
（2）將直線方程與拋物線方程聯立求出交點Q的坐標；將P的坐標代入橢圓方程得到a，b滿足的關系，變形得到Q的坐標滿足雙曲線方程，證出點Q在雙曲線上．
（3）設出Q所在的拋物線方程，將Q的坐標代入得到a，b滿足的方程；通過對p，c的分類討論得到P所在的曲線．
解答：解：（1）當a=1，b=2，p=2時，
解方程組得即點Q的坐標為（8，16）（3分）
（2）證明：由方程組得
即點Q的坐標為（5分）
∵P時橢圓上的點，即=1
∴，
因此點Q落在雙曲線4x²-4y²=1上（8分）
（3）設Q所在的拋物線方程為y²=2q（x-c），q≠0（10分）
將代入方程，得，即b²=2qa-2qca²（12分）
當c=0時，b²=2qa，此時點P的軌跡落在拋物線上；
當qc=時，，此時點P的軌跡落在圓上；
當qc＞0且qc≠時，=1，此時點P的軌跡落在橢圓上；
當qc＜0時=1，此時點P的軌跡落在雙曲線上；（16分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系常用的處理方法是將它們的方程聯立、判斷動點的軌跡常通過動點的方程來判斷．