Question

已知數列｛a_n｝的前n項和S_n與通項a_n之間滿足a₁=1，S_n=n²a_n，求a_n.

   

Answer 1

思路分析：本題除給出初始條件a₁=1之外，還給了前n項和S_n與通項a_n之間的關系式S_n=n²a_n.為求a_n，需考慮使用公式a_n=S_n-S_n-1，從而把S_n與S_n-1之間的關系轉化為a_n與a_n-1之間的遞推關系.

    解：當n≥2時，

    S_n-S_n-1=n²a_n-(n-1)²a_n-1=a_n，

     (n²-1)a_n=(n-1)²a_n-1，

     (n+1)a_n=(n-1)a_n-1，

    ∴=.

    ∴···…···=···…···，==.

    又由S₂=a₁+a₂=2²·a₂3a₂=a₁，a₂=，

    ∴a_n=(n≥2).此通項公式對n=1也成立.

    ∴a_n=.