Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2

2

，側棱長為4．E，F分別為棱AB，BC的中點，EF∩BD=G．
（Ⅰ）求證：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求點D₁到平面B₁EF的距離d；
（Ⅲ）求三棱錐B₁-EFD₁的體積V．

Answer 1

分析：（1）方法一：欲證明平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，先證直線與平面垂直，觀察平面BDD₁B₁為正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角面，所以AC⊥平面BDD₁B₁，故連接AC，由EF∥AC，可得EF⊥平面BDD₁B₁
方法二：欲證明平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，先證直線與平面垂直，由題意易得EF⊥BD，又EF⊥D₁D，所以EF⊥平面BDD₁B₁

（2）本題的設問是遞進式的，第（1）問是為第（2）問作鋪墊的．由第（1）問可知，點D₁到平面B₁EF的距離d即為點D₁到平面B₁EF與平面BDD₁B₁的交線B₁G的距離，故作D₁H⊥B₁G，垂足為H，所以點D₁到平面B₁EF的距離d=D₁H．下面求D₁H的長度．
解法一：在矩形BDD₁B₁及Rt△D₁HB₁中，利用三角函數可解．
解法二：在矩形BDD₁B₁及Rt△D₁HB₁中，利用三角形相似可解．
解法三：在矩形BDD₁B₁及△D₁GB₁中，觀察面積大小關系可解．

（3）本題的設問是遞進式的，第（2）問是為第（3）問作鋪墊的．解決三棱錐求體積的問題，關鍵在于找到合適的高與對應的底面，由第（2）問可知，D₁H即為三棱錐B₁-EFD₁的高，所以B₁EF為對應的底面．

解答：解：（Ⅰ）證法一：
連接AC．
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，
∴AC⊥BD，又AC⊥D₁D，故AC⊥平面BDD₁B₁．
∵E，F分別為AB，BC的中點，故EF∥AC，
∴EF⊥平面BDD₁B₁，
∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁．

證法二：
∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，
∴EF⊥BD．又EF⊥D₁D
∴EF⊥平面BDD₁B₁，
∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁．

（Ⅱ）在對角面BDD₁B₁中，
作D₁H⊥B₁G，垂足為H．
∵平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，
且平面B₁EF∩平面BDD₁B₁=B₁G，
∴D₁H⊥平面B₁EF，且垂足為H，
∴點D₁到平面B₁EF的距離d=D₁H．
解法一：
在Rt△D₁HB₁中，D₁H=D₁B₁•sin∠D₁B₁H．
∵D1B1=

2

A1B1=

2

•2

2

=4，
sin∠D1B1H=sin∠B1GB=

B1B

GB1

=

4

42+12

=

4

17

，
∴d=D1H=4•

4

17

=

16 17

17

.

解法二：
∵△D₁HB₁～△B₁BG，
∴

D1H

B1B

=

D1B1

B1G

，
∴d=D1H=

B1B2

B1G

=

42

42+12

=

16 17

17

.

解法三：
連接D₁G，則三角形D₁GB₁的面積等于正方形DBB₁D₁面積的一半，
即

1

2

•B1G•D1H=

1

2

B1B2，
∴d=D1H=

B1B2

B1G

=

16 17

17

.
（Ⅲ）V=VB1-EFD1=VD1-B1EF=

1

3

•d•S△B1EF
=

1

3

•

16

17

•

1

2

•2•

17

=

16

3

.

點評：本小題主要考查正四棱柱的基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．