Question

如圖，雙曲線的中心在坐標原點O，A，C分別是雙曲線虛軸的上、下頂點，B是雙曲線的左頂點，F為雙曲線的左焦點，直線AB與FC相交于點D．若雙曲線的離心率為2，則∠BDF的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：利用雙曲線的簡單性質求出直線方程，求出三角形三個頂點的坐標，利用余弦定理求得cos∠BDF 的值．
解答：解：由題意得A（0，b），C（0，-b），B（-a，0），F（-c，0），=2．
∴BF=c-a=a，BD 的方程為 ，即  bx-ay+ab=0，
DC的方程為  ，即 bx+cy+bc=0，即 bx+2ay+2ab=0，
由 得 D （-，-），又 b== a，
∴FD==，BD==，
三角形BDF中，由余弦定理得 cos∠BDF，
∴cos∠BDF=，
故選 C．
點評：本題考查求直線方程，求兩直線的焦點坐標，余弦定理，以及雙曲線的簡單性質的應用．