Question

已知關于x的一元二次函數f（x）=ax²-4bx+2．
（1）設集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，從集合P中隨機取一個數作為a，從集合Q中隨機取一個數作為b，求方程f（x）=0有兩相等實根的概率；
（2）設點（a，b）是區域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

內的隨機點，求函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率．

Answer 1

分析：（1）先確定a、b取值的所有情況得到共有15種情況．因為方程有兩個相等的根，所以根的判別式為零得到a=2b²，結合a=2b²占2種情況，即可求得方程f（x）=0有兩個相等實根的概率；
（2）本小題是一個幾何概型的概率問題，先根據函數是增函數，得到試驗發生包含的事件對應的區域和滿足條件的事件對應的區域，做出面積，利用幾何概型計算公式得到結果．

解答：解：（1）∵方程ax²-4bx+2=0有兩等根，則△=16b²-8a=0即a=2b²
若a=2則b=-1或1
∴事件包含基本事件的個數是2個，可得所求事件的概率為

2

15

；
（2）函數f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對稱軸為x=

2b

a

，當且僅當2b≤a且a＞0時，
函數f（x）=ax²-4bx+1在區是間[1，+∞）上為增函數，
依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為{(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0

}
構成所求事件的區域為三角形部分．
由

a+b-8=0 b= a 2

得交點坐標為(

16

3

，

8

3

)，
∴所求事件的概率為P=

1 2 ×8× 8 3

1 2 ×8×8

=

1

3

點評：古典概型和幾何概型是我們學習的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積的比值得到．