Question

（03年北京卷理）（14分）

有三個新興城鎮分別位于、、三點處，且，，今計劃合建一個中心醫院，為同時方便三鎮，準備建在的垂直平分線上的點處（建立坐標系如圖）．

（Ⅰ）若希望點到三鎮距離的平方和最小，則應位于何處？

（Ⅱ）若希望點到三鎮的最遠距離為最小，則應位于何處？

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：由題設條件a>b>0,設P的坐標為（0，），則P至三鎮距離的平方和為

  =

所以，當時，函數取得最小值. 

答:點P的坐標是

（Ⅱ）解：記

P至三鎮的最遠距離為

    由解得記

于是

      

當，即時，

因為在[上是增函數，而上是減函數.

所以時,函數取得最小值. 點P的坐標是

當，即時，因為在[上當y=0函數取得最小值b，而上是減函數,且 ，所以時, 函數取得最小值.

答：當時，點P的坐標是

    當時，點P的坐標是，其中