Question

已知g(x)=mx+

1

3

，f(x)=

x3

3

-x，若對任意的x₁∈[-1，2]，總存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），則m的取值范圍是（　　）

• A．[0，

  1

  6

  ]
• B．[-

  1

  3

  ，0]
• C．[-

  1

  3

  ，

  1

  6

  ]
• D．[-

  1

  3

  ，1]

Answer 1

分析：根據對于任意x₁∈[-1，2]，總存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），得到函數g（x）在[-1，2]上值域是f（x）在[-1，2]上值域的子集，然后利用求函數值域的方法求函數f（x）、g（x）在[-1，2]上值域，列出不等式，解此不等式組即可求得實數a的取值范圍即可．

解答：解：根據對于任意x₁∈[-1，2]，總存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），得到函數g（x）在[-1，2]上值域是f（x）在[-1，2]上值域的子集
f(x)=

x3

3

-x求導函數可得：f′（x）=x²-1=（x+1）（x-1），∴函數f（x）在[-1，1）上單調減，在（1，2]上單調增
∴f（-1）=

2

3

，f（1）=-

2

3

，f（2）=

2

3

，∴f（x）在[-1，2]上值域是[-

2

3

，

2

3

]；
m＞0時，函數g（x）在[-1，2]上單調增，∴g（x）在[-1，2]上值域是[-m+

1

3

，2m+

1

3

]
∴-m+

1

3

≥-

2

3

且

2

3

≥2m+

1

3

∴0＜m≤

1

6

m=0時，g（x）=

1

3

滿足題意；
m＜0時，函數g（x）在[-1，2]上單調減，∴g（x）在[-1，2]上值域是[2m+

1

3

，-m+

1

3

]
∴2m+

1

3

≥-

2

3

且

2

3

≥-m+

1

3

∴-

1

3

≤m＜0
綜上知m的取值范圍是[-

1

3

，

1

6

]
故選C．

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及函數的值域，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．