Question

（04年湖南卷文）（12分）

如圖，在底面 是菱形的四棱錐P―ABCＤ中，∠ABC=60⁰，PA=AC=a,PB=PD=,點E是PD的中點.

（I）證明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的正切值.

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）證法一  因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中，

由PA²+AB²=2a²=PB²   知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

因為

        

所以  、、共面.

又PB平面EAC，所以PB//平面EAC.

證法二  同證法一得PA⊥平面ABCD.

連結(jié)BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點.

連結(jié)OE，因為E是PD的中點，所以PB//OE.

又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB//平面EAC.

（Ⅱ）解  作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.

知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角.

又E是PD的中點，從而G是AD的中點，

所以