Question

有三個新興城鎮(zhèn)，分別位于A、B、C三點(diǎn)處，且AB=AC=13，BC=10.今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點(diǎn)處（建立坐標(biāo)系如圖）.

(1)若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

(2)若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

Answer 1

解：(1)設(shè)P的坐標(biāo)為（0，y)，則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為f(y)=2(25+y²)+(12-y)²=3(y-4)²+146,∴當(dāng)y=4時，f(y)_min=146.

    即點(diǎn)P應(yīng)位于（0，4）.

(2)P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為g(y)=

    由≥|12-y|得y≥,于是g(y)=

    因?yàn)?SUB>在［,+∞)上是增函數(shù)，而|12-y|在（-∞,）上是減函數(shù)，故當(dāng)y=時，函數(shù)g(y)有最小值，此時點(diǎn)P應(yīng)位于（0，）.