Question

在數列{a_n}中，任意相鄰兩項為坐標的點P（a_n，a_n+1）均在直線y=2x+k上，數列{b_n}滿足條件：b₁=2，b_n=a_n+1-a_n（n∈N）．
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若，S_n=c₁+c₂+…+c_n，求 2ⁿ⁺¹-S_n＞60n+2成立的正整數n的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意a_n+1=2a_n+k，故b_n=a_n+1-a_n=2a_n+k-a_n=a_n+k，b_n+1=a_n+1+k=2a_n+k+k=2（a_n+k）=2b_n，由此能求出數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ），-S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，由錯位相減法知2ⁿ⁺¹-S_n＞60n+2，即n•2ⁿ⁺¹＞60n，2ⁿ⁺¹＞60．由此知使2ⁿ⁺¹-S_n＞60•n+2成立的正整數n的最小值為5．
解答：解：（Ⅰ）依題意：a_n+1=2a_n+k
∴b_n=a_n+1-a_n=2a_n+k-a_n=a_n+k，（*）
∴b_n+1=a_n+1+k=2a_n+k+k=2（a_n+k）=2b_n，
∵b₁=2，∴．∴數列{b_n}是以2為首項，2為公比的等比數列．
∴b_n=2•2^n-1=2ⁿ，即為數列b_n的通項公式．
（Ⅱ）
∴-S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ（3）
∴-2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹（4）
（3）-（4）得
2ⁿ⁺¹-S_n＞60n+2，即∴n•2ⁿ⁺¹＞60n，∴2ⁿ⁺¹＞60
又當n≤4時，∴2ⁿ⁺¹≤2⁵=32＜60
當n≥5時，∴2ⁿ⁺¹≥2⁶=64＞60
故使2ⁿ⁺¹-S_n＞60•n+2成立的正整數n的最小值為5．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意數列通項公式的求法和數列前n項和公式的合理運用，注意挖掘隱含條件，認真解題．