Question

已知f（x）=lg（a^x-b^x）（a>1>b>0）.
（1）求y=f（x）的定義域；
（2）在函數圖象上是否存在不同兩點，使過兩點的直線平行于x軸?

Answer 1

（1）由a^x-b^x>0，得（）^x>1=（）⁰.
∵>1，∴x>0.
∴函數的定義域為（0，+∞）.
（2）先證明f（x）是增函數.對于任意x₁>x₂>0，∵a>1>b>0，∴>，<.
∴->-.
∴lg（-）>lg（-）.
∴f（x₁）>f（x₂）.
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數.
假設y=f（x）上存在不同的兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），使直線AB平行于x軸，則x₁≠x₂，y₁=y₂，這與f（x）是增函數矛盾.
∴y=f（x）的圖象上不存在兩點，使過這兩點的直線平行于x軸.

（2）的思維難點是把問題化歸為研究函數的單調性問題.