Question

已知函數(shù)φ(x)=log

1

2

x與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y=x對稱，若g（a）g（b）=2，且a＜0，b＜0，則

4

a

+

1

b

的最大值為

-9

．

Answer 1

分析：依題意可求得g（x）=(

1

2

)x，于是有a+b=-1，利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：∵φ（x）=log

1

2

x與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y=x對稱，
∴φ（x）=log

1

2

x與函數(shù)g（x）互為反函數(shù)，
∴g（x）=(

1

2

)x，
∵g（a）g（b）=2，
∴(

1

2

)a•(

1

2

)b=(

1

2

)a+b=2，
∴a+b=-1，又a＜0，b＜0，
∴

4

a

+

1

b

=-（

4

a

+

1

b

）（a+b）=-（4+

4b

a

+

a

b

+1）
依題意，

4b

a

+

a

b

≥2

4b a • a b

=4，
∴-（

4b

a

+

a

b

）≤-4，
∴-（4+

4b

a

+

a

b

+1）≤-9．
故答案為：-9．

點評：本題考查反函數(shù)與基本不等式的應用，求得a+b=-1是關(guān)鍵，屬于中檔題．