Question

（2004•虹口區一模）已知：函數f（x）=x³+px²+9qx+p+q+3 （x∈R）的圖象關于原點對稱，其中p，q是實常數．
（1）求p，q的值；
（2）確定函數f（x）在區間[-3，3]上的單調性；
（3）若當-3≤x≤3時，不等式f（x）≥10sint-49恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的性質，得2px²+2（p+q+3）=0恒成立，求得p，q的值
（2）利用單調性的定義，可證明函數f（x）在區間[-3，3]上為減函數
（3）先求出函數f（x）在區間[-3，3]上的最小值，再令10sint-49比所求最小值不大，解不等式即可

解答：解：（1）由f（-x）=-f（x），得2px²+2（p+q+3）=0恒成立，∴p=0，q=-3． 
（2）f（x）=x³-27x，取-3≤x₁＜x₂≤3，則x₁²+x₁x₂+x₂²＜27．
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-27）＞0，f（x）在[-3，3]為減函數． 
（3）由（2）知f（x）在區間[-3，3]上的最小值為f（3）=-54，
∴只需f（3）=-54≥10sint-49，
由sint≤-

1

2

，得t∈[2kπ-

5π

6

，2kπ-

π

6

]（k∈Z）．

點評：本題考查了函數的奇偶性、單調性和不等式恒成立問題，解題時要熟練掌握函數奇偶性、單調性定義，能準確利用函數單調性求函數值域