Question

已知函數f(x)=

x+b

x2-1

是定義域（-1，1）上的奇函數，
（1）求b的值，并寫出f（x）的表達式；
（2）試判斷f（x）的單調性，并證明．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的性質確定b的值．
（2）利用函數的單調性判斷函數的單調性．

解答：解：（1）因為函數f（x）的定義域為（-1，1）且f（x）是奇函數，
所以f（0）=0，即f（0）=

b

-1

=-b=0，解得b=0．
所以f（x）=

x

x2-1

．
（2）函數f（x）為減函數，證明如下
設-1＜x₁＜x₂＜1，則f(x1)-f(x2)=

x1

x 2 1 -1

-

x2

x 2 2 -1

=

x1( x 2 2 -1)-x2( x 2 1 -1)

( x 2 1 -1)( x 2 2 -1)

=

(x2-x1)(1+x1x2)

( x 2 1 -1)( x 2 2 -1)

，
因為-1＜x₁＜x₂＜1，所以

x

2 1

＜1，

x

2 2

0，1+x₁x₂＞0，
所以f(x1)-f(x2)=

(x2-x1)(1+x1x2)

( x 2 1 -1)( x 2 2 -1)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數f（x）為減函數．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，利用定義法是判斷函數單調性的常用方法．