Question

已知函數f(x)=x2+ax+

1

x2

+

a

x

+3(x＞0)，若實數a使得f（x）=0有實根，則a的最大值是（　　）

• A．-

  5

  2

• B．

  3

  4

• C．2
• D．-2

Answer 1

分析：先整理函數方程解析式，設x+

1

x

=t進而可知t的范圍，再代入函數解析式轉化為t²+at+1=0在[2，+∞）有實根，需判別式大于等于0且大根大于等于2，進而列出不等式求出a的范圍，再求出它的最大值．

解答：解：f(x)=x2+ax+

1

x2

+

a

x

+3=(x+

1

x

)2+a（x+

1

x

）+1，
設x+

1

x

=t，因為x＞0，則t≥2，
則有f（t）=t²+at+1，
∵t²+at+1=0有實根，
∴△=a²-4≥0，且大根

-a+ a2-4

2

≥2，
即

a2-4≥0 -a+ a2-4 2 ≥2

，解得，a≤-

5

2

，則a的最小值為-

5

2

，
故選A．

點評：本題主要考查了方程與函數的綜合運用，解題的關鍵利用了換元法整理函數解析式，利用判別式的符號和根的大小列出不等式組，再進行求解，注意換元后的取值范圍，這是易忽略的地方．