Question

對定義在上，并且同時滿足以下兩個條件的函數稱為函數。
①對任意的，總有；
②當時，總有成立。
已知函數與是定義在上的函數。
（1）試問函數是否為函數？并說明理由；
（2）若函數是函數，求實數的值；
（3）在（2）的條件下，討論方程解的個數情況。

Answer 1

(1)函數是函數,(2) (3)

解析試題分析：
（1）根據函數的定義，驗證函數的兩個條件，即可判斷；
（2）根據因為函數是函數，利用函數的兩個條件，即可求得實數的值；
（3）根據（2）知，原方程可以化為，再利用換元法，即可求實數的取值范圍．
對考查新定義的題要與熟悉的已知函數性質比較,參考其性質及運算特征進行計算，對新定義熟悉性質后求參數的取值，把方程解的情況轉化成求值域，利用換元法、配方法求函數的值域；解題的關鍵是正確理解新定義．
試題解析：
（1）當時，總有滿足①
當時
滿足②
所以函數是函數.
（2）
Ⅰ當時，不滿足①，所以不是是函數
Ⅱ當時，在上是增函數,則,滿足①
由,得
即
因為
所以，與不同時等于1
所以
所以
當時, 即于是
綜上所述:
(3) 根據（2）知，原方程可以化為
由得
令,則在單調遞增且值域為
所以，當時，方程有一解
當時方程無解
考點：函數恒成立問題．