Question

已知數列{a_n}的首項a₁=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，其中n∈N₊．
（Ⅰ）求證：數列{

1

an

-1}為等比數列；
（Ⅱ）記S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，若S_n＜100，求最大的正整數n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數列遞推式，變形可得

1

an+1

-1=

1

3an

-

1

3

，從而可證數列{

1

an

-1}為等比數列；
（Ⅱ）確定數列的通項，利用等比數列的求和公式求和，即可求最大的正整數n．

解答：（Ⅰ）證明：∵

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，∴

1

an+1

-1=

1

3an

-

1

3

，
∵

1

a1

-≠0，∴

1

an

-1≠0(n∈N₊），
∴數列{

1

an

-1}為等比數列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可求得

1

an

-1=

2

3

×(

1

3

)n-1，∴

1

an

=2×(

1

3

)n+1
Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=n+2×(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)=n+2•

1 3 - 1 3n+1

1- 1 3

=n+1-

1

3n

，
若S_n＜100，則n+1-

1

3n

＜100，
∴n_max=99．

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查等比數列的求和公式，屬于中檔題．