Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△ABE為等腰三角形，AE＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，點F在CE上，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）判斷平面ADE與平面BCE是否垂直，并說明理由；

（Ⅱ）求點D到平面ACE的距離.

Answer 1

（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCE（Ⅱ）點D到平面ACE的距離是.

解析:

（Ⅰ）因為BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE.                                 （2分）

因為平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，

平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE，

從而BC⊥AE.                                                               （5分）

于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE.                                   （6分）

（Ⅱ）方法一：連結BD交AC與點M，則點M是BD的中點，

所以點D與點B到平面ACE的距離相等.

因為BF⊥平面ACE，所以BF為點B到平面ACE的距離.                         （8分）

因為AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.

又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形.

因為AB＝2，所以BE＝.                                         （9分）

在Rt△CBE中，.                                     （10分）

所以.

故點D到平面ACE的距離是.                                             （12分）

方法二：過點E作EG⊥AB，垂足為G，因為平面ABCD⊥平面ABE，所以EG⊥平面ABCD.

因為AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形，從而G為AB的中點.又AB＝2，所以EG＝１.                                                （8分）

因為AE⊥平面BCE ，所以AE⊥EC.

又AE＝BE＝，.                         （10分）

設點D到平面ACE的距離為ｈ，因為Ｖ_Ｄ－ACE＝V_E－ACD，則.

所以，故點D到平面ACE的距離是.   （12分）