Question

已知f（x）=x³+3bx²+3cx有兩個極值點x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]，則f（1）的取值范圍是（　�。�

• A．（-10，-

  13

  2

  ]
• B．[-

  13

  2

  ，-

  1

  2

  ]
• C．[-10，-

  1

  2

  ]
• D．[-

  1

  2

  ，10]

Answer 1

分析：根據函數f（x）的極值點的范圍，對原函數求導，借助導函數所對應方程根的分布情況，列出對應的不等式組，然后可以直接求解，也可采用取特值排除不適合控制不等式組的選項．

解答：解：由f（x）=x³+3bx²+3cx得f^′（x）=3x²+6bx+3c，令f^′（x）=0得g（x）=x²+2bx+c=0，
∵x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]，則

g(-1)=1-2b+c≥0 g(0)=c≤0 g(1)=1+2b+c≤0 g(2)=4+4b+c≥0

又f（1）=1+3b+3c+3（b+c）+1，取f（1）=-2，得 b+c=-1，b=-c-1，將b=-c-1分別代入上面不等式中的g（-1），
g（0），g（1），g（2）得到-1≤c≤0有解，說明f（1）=-2滿足，所以可排除A，D．再取f（1）=-8，同理可得控制不等式組有解，故可排除C．
故選B．

點評：解題時需明確兩點，一是極值點處的導數為0，再就是求導后能正確把導函數所對應方程根的分布情況轉化為控制待求系數的不等式組．