Question

【題目】定義：如果函數f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）滿足 ， ，則稱函數f（x）是[a，b]上的“雙中值函數”．已知函數f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“雙中值函數”，則實數a的取值范圍是（ ）
A.
B.（ ）
C.（ ，1）
D.（ ，1）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由題意可知，∵f（x）=x3﹣x2+a，f′（x）=3x2﹣2x

在區間[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），

滿足f′（x1）=f′（x2）= =a2﹣a，

∵f（x）=x3﹣x2+a，

∴f′（x）=3x2﹣2x，

∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在區間（0，a）有兩個不相等的解．

令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）

則，

解得； ．

∴實數a的取值范圍是（ ，1）

故選：C

【考點精析】根據題目的已知條件，利用導數的幾何意義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即．