Question

某車間生產一種儀器的固定成本是10000元，每生產一臺該儀器需要增加投入100元，已知總收益滿足函數：H（x）=

400x-x2，0≤x≤200 40000，x＞200

，其中x是儀器的月產量．
（1）將利潤表示為月產量的函數（用f（x）表示）；
（2）當月產量為何值時，車間所獲利潤最大？最大利潤是多少元？（總收益=總成本+利潤）

Answer 1

分析：（1）設月產量為x臺，則總成本為t=10000+100x，由f（x）=H（x）-t，能求出利潤f（x）．
（2）當0≤x≤200時，f（x）=-（x-150）²+12500，f（x）_max=f（150）=12500．當x＞200時，f（x）=-100x+30000在（200，+∞）上是減函數，由此即可判斷出結論

解答：解：（1）設月產量為x臺，則總成本為t=10000+100x，
總收益滿足函數：H（x）=

400x-x2，0≤x≤200 40000，x＞200

，
∵f（x）=H（x）-t，
∴利潤f（x）=

-x2+300x-10000，0≤x≤200 -100x+30000，x＞200

．
（2）當0≤x≤200時，f（x）=-（x-150）²+12500，
∴f（x）_max=f（150）=12500．
當x＞200時，f（x）=-100x+30000在（200，+∞）上是減函數，
∴f（x）_max＜f（200）=10000＜12500，
∴當月產量為150臺時，該車間所獲利潤最大，最大利潤是12500元．

點評：本題考查函數在生產生活中的具體運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．