Question

已知函數(shù)f(x)=

2

x

+alnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=4，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）記函數(shù)g（x）=x²f'（x）+2x³，若函數(shù)g（x）的最小值為-2-8

2

，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再解f'（x）＜0以及f'（x）＞0即可找到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）把函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)在[1，+∞）上恒大于等于0，在結(jié)合x≥1即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，找到其取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的變量，結(jié)合函數(shù)g（x）的最小值為-2-8

2

，求出實(shí)數(shù)a即可求函數(shù)f（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">f(x)=

2

x

+4lnx
所以f′(x)=-

2

x2

+

4

x

=

4x-2

x2

當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，f'（x）＜0，∴遞減區(qū)間為（0，

1

2

）；
當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，f'（x）＞0，∴遞增區(qū)間為(

1

2

，+∞)
（Ⅱ）令f′(x)=-

2

x2

+

a

x

≥0
∴

a

x

≥

2

x2

又∵x≥1
∴a≥

2

x

恒成立
又因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

2

x

≤2在x[1，+∞）上恒成立
∴a≥2
（Ⅲ）∵g(x)=x2(-

2

x2

+

a

x

)+2x3=2x3+ax-2（x＞0）
∴g'（x）=6x²+a
當(dāng)a≥0時(shí)，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無最小值；
∴a＜0
令g'（x）=0則x0=

- a 6

?a=-6x₀²
當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，g'（x）＜0，g（x）遞減；
當(dāng)x＞x₀時(shí)，g'（x）＞0，g（x）遞增；
∴當(dāng)x=x₀時(shí)，g（x）取最小值-2-8

2

．
g(x0)=2

x

3 0

+ax0-2=2

x

3 0

-6

x

2 0

•x0-2=-4

x

3 0

-2=-8

2

-2
∴

x

3 0

=2

2

∴x0=

2

∴a=-12
∴f(x)=

2

x

-12lnx

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，導(dǎo)函數(shù)大于0對(duì)應(yīng)的區(qū)間為函數(shù)的增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0對(duì)應(yīng)的區(qū)間為函數(shù)的減區(qū)間．