Question

已知二項式（

x

+

3

x

）ⁿ的展開式中，各項系數的和與其各項二項式系數的和之比為64，則展開式中x的系數等于

135

．

Answer 1

分析：本題對于二項式系數的和可以通過賦值令x=1來求解，而各項二項式系數之和由二項式系數公式可知為2ⁿ，最后通過比值關系為64即可求出n的值是6．利用二項展開式的通項公式求出通項，令x的指數為1，求出r，將r的值代入通項求出展開式的x的系數

解答：解：令 (

x

+

3

3 x

)n中x為1得各項系數和為4ⁿ
又展開式的各項二項式系數和為2ⁿ
∵各項系數的和與各項二項式系數的和之比為64
∴

4n

2n

=64
解得n=6
展開式的通項為 T_r+1=3^rC₆^rx^3-r
令3-r=1得r=2
所以展開式中x的系數等于9C₆²=135
故答案為135．

點評：本題考查求展開式的各項系數和的重要方法是賦值法、考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題，解答關鍵是利用展開式的各項的二項式系數的和為2ⁿ