Question

定義函數(shù)f_n（x）=（1+x）ⁿ-1，x＞-2，n∈N。
（1）求證：f_n（x）≥nx；
（2）是否存在區(qū)間[a，0]（a<0），使函數(shù)在區(qū)間[a，0]上的值域?yàn)閇ka，0]？若存在，求出最小的k值及相應(yīng)的區(qū)間[a，0]，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1） 令 則 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ∴g（x）在x=0處取得極小值，同時(shí)g（x）是單峰函數(shù)，則g（0）也是最小值 ∴ 即（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)）；
（2） 令得， ∴當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng) 故h（x）的草圖如圖所示 ①在時(shí)，最小值 ∴ ②在時(shí)，最小值 ， ③在時(shí)，最小值= ∴，時(shí)取等號(hào) 綜上討論可知k的最小值為，此時(shí)。