Question

過點P（2，4）作兩條互相垂直的直線l₁、l₂,若l₁交x軸于A點，l₂交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程.

Answer 1

解法一：設點M的坐標為（x,y）,

    ∵M為線段AB的中點，

    ∴A的坐標為（2x,0），B的坐標為（0,2y）.

    ∵l₁⊥l₂,且l₁、l₂過點P（2，4），

    PA⊥PB,k_PA·k_PB=-1.

    而k_PA=,k_PB=(x≠1),

    ∴·=-1(x≠1).

    整理，得x+2y-5=0(x≠1).

    ∵當x=1時，A、B的坐標分別為(2,0)、(0,4),

    ∴線段AB的中點坐標是（1，2），它滿足方程x+2y-5=0.

    綜上所述，點M的軌跡方程是x+2y-5=0.

解法二：設M的坐標為(x,y)，則A、B兩點的坐標分別是（2x,0）、(0,2y),連結PM，∵l₁⊥l₂,

    ∴2｜PM｜=｜AB｜.

    而｜PM｜=,

    ｜AB｜=,

    ∴2=.化簡，得x+2y-5=0,為所求軌跡方程.

解法三：設M的坐標為（x,y），由l₁⊥l₂，BO⊥OA知O、A、P、B四點共圓，

    ∴｜MO｜=｜MP｜，即點M是線段OP的垂直平分線上的點.

    ∵k_OP==2,線段OP的中點為(1,2),

    ∴y-2=-(x-1),即x+2y-5=0為所求.