Question

給出下列命題，其中正確的命題是

①②⑤

（寫出所有正確命題的編號）．
①在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，則△ABC是銳角三角形；
②在△ABC中，A＜B是cosA＞cosB的充要條件；
③已知非零向量

a

、

b

，則“

a

•

b

＞0”是“

a

、

b

的夾角為銳角”的充要條件；
④若數列{a_n}為等比數列，則“a₃a₅=16”是“a₄=4”的充分不必要條件；
⑤函數f（x）的導函數為f'（x），若對于定義域內任意x₁，x₂（x₁≠x₂），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)恒成立，則稱f（x）為恒均變函數，那么f（x）=x²-2x+3為恒均變函數．

Answer 1

分析：①依據正切和角公式的變形及誘導公式推導；
②由于A、B是三角形的內角，得到A，B∈（0，π），在（0，π）上，y=cosx是減函數．
由此知△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，即可得答案；
③夾角為0°時，也可使則

a

•

b

＞0；
④依據等比數列的性質；
⑤對于所給的每一個函數，分別計算

f(x1)-f(x2)

x1-x2

和f′(

x1+x2

2

)的值，檢驗二者是否相等，從而根據恒均變函數”的定義，做出判斷．

解答：解：①根據正切和角公式tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

得到，
tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC，
又tan（A+B）=tan（180°-C）=-tanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，
若三角形有一個為鈍角，必有一個值為負值，tanA•tanB•tanC＜0，
若三角形有一個為直角，則tanA•tanB•tanC無意義，若∠C=90度，tanC無意義，
當tanA•tanB•tanC＞0時三個角為銳角，
故tanA+tanB+tanC＞0時，為銳角三角形，故①正確；
②∵A、B是三角形的內角，∴A∈（0，π），B∈（0，π），
∵在（0，π）上，y=cosx是減函數，
∴△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，故②正確；
③非零向量

a

、

b

，∵

a

、

b

的夾角為銳角，∴

a

•

b

=|

a

||

b

|cosθ＞0，
∵當夾角θ=0°時，滿足

a

•

b

＞0，故③錯；
④∵數列{a_n}為等比數列，∴若a₃a₅=16，則a42=16，即a₄=±4，故④錯；
⑤∵f（x）=x²-2x+3，
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

(x12-2x1)(x22-2x2)

x1-x2

=

(x1-x2)(x1+x2-2)

x1-x2

=x₁+x₂-2，
f′(

x1+x2

2

)=2•

x1+x2

2

-2=x₁+x₂-2，
故滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，∴f（x）=x²-2x+3，為恒均變函數．

點評：本題主要考查判斷命題的真假，屬于基礎題，同時考查函數的導數運算，條件的判斷及正切和角公式．