Question

設f（x）是奇函數，且在（0，+∞）內是增函數，又f（-3）=0，則（x-1）•f（x）＜0的解集是（　　）

A．{x|-3＜x＜0或1＜x＜3}

B．{x|1＜x＜3}

C．{x|x＞3或x＜-3}

D．{x|x＜-3或x＞1}

Answer 1

分析：利用函數奇偶性和單調性之間的關系得到不等式f（x）＞0和f（x）＜0的解，然后將不等式（x-1）•f（x）＜0轉化為

x-1＞0 f(x)＜0

或

x-1＜0 f(x)＞0

，進行求解．

解答：解：∵f（x）是奇函數，且在（0，+∞）內是增函數，
∴f（x）在（-∞，0）內是增函數，
∵f（-3）=-f（3）=0，
∴f（3）=0．
則當-3＜x＜0或x＞3時，f（x）＞0，
當0＜x＜3或x＜-3時，f（x）＜0，
則不等式（x-1）•f（x）＜0等價為：

x-1＞0 f(x)＜0

①或

x-1＜0 f(x)＞0

，②
由①得

x-1＞0 0＜x＜3或x＜-3

，即

x＞1 0＜x＜3或x＜-3

解得1＜x＜3．
由②得

x-1＜0 -3＜x＜0或x＞3

即

x＜1 -3＜x＜0或x＞3

解得-3＜x＜0．
綜上：1＜x＜3或-3＜x＜0．
故不等式的解集為：（1，3）∪（-3，0）．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性之間的關系的應用，利用數形結合是解決本題的關鍵．