Question

 如圖，在棱長為2的正方體ABCD -A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為A₁D₁和CC₁ 的中點．

   （1）求證：EF∥平面ACD₁；

   （2）求面EFB與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大小．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：如圖分別以DA、DC、DD₁所在的直線為x 軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、

C（0，2，0）、B₁（2，2，2）、D₁（0，0，2）、

E（1，0，2 ）、F（0，2，1）．

   （1）取AD₁中點G，則G（1，0，1），=（1，-2，1），

又=（-1，2，-1），由=，

∴與共線．從而ＥＦ∥ＣＧ，

∵CG平面ACD₁，EF平面ACD₁，

∴EF∥平面ACD₁. ………………………（6分）

   （2）設面EFB的一個法向量，

由得，故可取，………（8分）

取底面ABCD的一個法向量，由，

所成的銳二面角余弦值的大小為．…………（12分）