Question

已知常數c、d都是實數,在數列{a_n}與{b_n}中,a₁=0,b₁=1.對任何正整數n,等式a_n+1=ca_n+d,b_n+1=cb_n+d都成立.

(1)當c=1時,求數列{a_n}與{b_n}的通項公式;

(2)當c＞0且c≠1時,要使數列{b_n}是公比不為1的等比數列,求d的值;

(3)當c＞0時,設數列{a_n}的前n項和、{b_n}的前n項和分別為S_n與T_n,求(T₁+T₂+…+T₁00)-(S₁+S₂+…+S₁00)的值.

Answer 1

解:(1)∵c=1＞0,

∴a_n=c·a_n-1+d=a_n-1+d,b_n=b_n-1+d(n≥2).

∴{a_n}{b_n}都是公差為d的等差數列.

∵a₁=0,b₁=1,

∴a_n=(n-1)d,b_n=1+(n-1)d(n∈N^*).

(2)∵c＞0,∴b_n=cb_n-1+d.∴=c+.

∵{b_n}是等比數列,∴為常數.

∵{b_n}是公比不為1的等比數列,

∴b_n-1不是常數.∴必有d=0.

(3)∵c＞0,∴a_n=c·a_n-1+d,b_n=c·b_n-1+d.

兩式相減得b_n-a_n=c(b_n-1-a_n-1)(n≥2),

∴{b_n-a_n}為等比數列.

∴b_n-a_n=(b₁-a₁)c^n-1=c^n-1.

∴T_n-S_n=(b₁-a₁)+(b₂-a₂)+…+(b_n-a_n)=1+c+c²+…+c^n-1=

∴當c=1時,(T₁+T₂+…+T₁₀₀)-(S₁+S₂+…+S₁₀₀)

=(T₁-S₁)+(T₂-S₂)+…+(T₁₀₀-S₁₀₀)

=1+2+3+…+100

==5 050.

∴當c＞0且c≠1時,(T₁+T₂+…+T₁₀₀)-(S₁+S₂+…+S₁₀₀)

=(T₁-S₁)+(T₂-S₂)+…+(T₁₀₀-S₁₀₀)

=++…+=［100］=.