Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，則AC₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為（　　）

• A．

  2 2

  3

• B．

  1

  3

• C．

  15

  5

• D．

  10

  5

Answer 1

分析：由題意，由于圖形中已經出現了兩兩垂直的三條直線所以可以利用空間向量的方法求解直線與平面所成的夾角．

解答：解：以D點為坐標原點，以DA、DC、DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C₁（0，2，1）
∴

BC1

=（-2，0，1），

AC

=（-2，2，0），

AC

且為平面BB₁D₁D的一個法向量．
∴cos＜

BC1

，

AC

＞=

4

5 • 8

=

10

5

．
∴BC₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為

10

5

故選：D．

點評：此題重點考查了利用空間向量，抓住直線與平面所成的角與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角之間的關系這一利用向量方法解決了抽象的立體幾何問題．