Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，已知AB=2，AD=2

2

，PA=2，
求：（Ⅰ）三角形PCD的面積；
    （II）三棱錐P-ABE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只要證明CD⊥平面PAD即可．
（Ⅱ）取PB的中點，得EH為△PBC的中位線，可得EH與BC的關系，而可證明BC⊥平面PAB，因此EH為平面PAB上的高，進而可計算出體積．

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
由矩形ABCD可得CD⊥AD，
又∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．
∴△PCD是一個直角三角形，PD=

22+(2 2 )2

=2

3

．
∴S_△PCD=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
（ II）如圖，設PB的中點為H，又E為PC的中點，由三角形的中位線定理，得EH∥BC，EH=

1

2

BC=

2

．
由PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC．
由矩形ABCD得BC⊥AB．
又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
所以HE為三棱錐P-ABE的高，因此可得V_P-ABE=V_E-PAB=

1

3

×

1

2

×2×2×

2

=

2 2

3

．

點評：本題考查面積與體積的計算，理解線面垂直的判定與性質是解決問題的關鍵．同時注意三角形的中位線定理的應用．