Question

甲乙兩支球隊進行總決賽，比賽采用七場四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊為總冠軍，比賽就此結束．因兩隊實力相當，每場比賽兩隊獲勝的可能性均為二分之一．據以往資料統計，第一場比賽可獲得門票收入40萬元，以后每場比賽門票收入比上一場增加10萬元．
（Ⅰ）求總決賽中獲得門票總收入恰好為300萬元的概率；
（Ⅱ）設總決賽中獲得的門票總收入為X，求X的均值E（X）．

Answer 1

分析：（I）依題意每場比賽獲得的門票收入數組成首項為40，公差為10的等差數列，設此數列為{a_n}，根據a₁=40，a_n=10n+30，得到數列的前n項和，得到n的值，從而可得結論；
（II）確定隨機變量X可取的值，求出相應的概率，即可求X的均值E（X）．

解答：解：（I）依題意，每場比賽獲得的門票收入組成首項為40，公差為10的等差數列．
設此數列為{a_n}，則易知a₁=40，a_n=10n+30，
∴Sn=

n(10n+70)

2

=300，
解得n=-12（舍去）或n=5，所以此決賽共比賽了5場．        …（3分）
則前4場比賽的比分必為1：3，且第5場比賽為領先的球隊獲勝，其概率為

C

1 4

(

1

2

)4=

1

4

；…（6分）
（II）隨機變量X可取的值為S₄，S₅，S₆，S₇，即220，300，390，490    …（7分）
又P(X=220)=2•(

1

2

)4=

1

8

，P(X=300)=

C

1 4

(

1

2

)4=

1

4

…（8分）P(X=390)=

C

2 5

(

1

2

)5=

5

16

，P(X=490)=

C

3 6

(

1

2

)6=

5

16

…（12分）
所以，X的分布列為

X	220	300	390	490
P	1 8	1 4	5 16	5 16

所以X的均值為E（X）=220×

1

8

+300×

1

4

+390×

5

16

+490×

5

16

=377.5．

點評：本題考查概率的計算，考查等差數列的運用，考查離散型隨機變量的分布列與均值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．