Question

在△ABC中，三邊a，c，b成等差，則sinA的范圍是

[

3

2

，1）

．

Answer 1

分析：利用等差數列的性質可知2c=a+b，利用余弦定理表示出cosC，然后把b=

1

2

（a+c）代入，利用基本不等式即可求出cosC的最小值，根據C的范圍及余弦函數在此區間為減函數即可得到A的范圍，即可求

解答：解：由三邊成等差數列可知：c=

a+b

2

由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2-( a+b 2 )2

2ab

=

3(a2+b2)-2ab

8ab

≥

6ab-2ab

8ab

=

1

2

，
當且僅當a=b時取等號，此時A=B
又C∈（0，π），且余弦函數在此區間為減函數，
所以C∈（0，

1

3

π]
所以，2A=A+B∈[

2π

3

，π)
所以A∈[

1

3

π，

1

2

π)，sinA∈[

3

2

，1）
故答案為：[

3

2

，1）

點評：此題考查學生靈活運用余弦定理化簡求值，掌握余弦函數的圖象與性質，靈活運用基本不等式求函數的最大值，是一道綜合題．