Question

已知雙曲線C：（a>b>0)的一個焦點為，離心率為.
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）若動點P(x₀,y₀)為雙曲線外一點，且點P到雙曲線C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程。

Answer 1

（1）
（2）x²+y²=5

（1）設雙曲線C的半焦距為c,則，，所以a=3,從而b²=c²-a²=4,故雙曲線C的方程是。
（2）依題意，過點P引雙曲線的兩條相互垂直切線的斜率存在且不為0，不妨設切線的斜率為k，則過點P的切線方程為y-y₀=k(x-x₀).
聯立方程組得（4-9k²)x²-18k(y₀-kx₀)x-9(y₀-kx₀)²-36=0,
因為直線與雙曲線相切，
故，
即(x₀²-9)k²-2x₀y₀k+y₀²+4=0
因為兩條切線相互垂直，所以k₁k₂=-1,即，故x₀²+y₀²=5.
所以點Ｐ的軌跡方程為x²+y²=5.