Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E，E₁分別是棱AD，AA₁的中點．
（1）設F是棱AB的中點，證明：直線EE₁∥平面FCC₁；
（2）證明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

【答案】分析：（1）取A₁B₁的中點為F₁，連接FF₁，C₁F₁，要證明直線EE₁∥平面FCC₁，只需證明EE₁∥F₁C，就證明了EE₁∥平面FCC₁內的直線，即可推得結論；
（2）要證明平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C，只需證明AC⊥BC，AC⊥CC₁，即可．
解答：證明：（1）方法一：取A₁B₁的中點為F₁，連接FF₁，C₁F₁，
由于FF₁∥BB₁∥CC₁，所以F₁∈平面FCC₁，因此平面FCC₁即為平面C₁CFF₁．
連接A₁D，F₁C，由于A₁F₁D₁C₁CD，所以四邊形A₁DCF₁為平行四邊形，因此A₁D∥F₁C．
又EE₁∥A₁D，得EE₁∥F₁C，而EE₁?平面FCC₁，F₁C?平面FCC₁，故EE₁∥平面FCC₁．
方法二：因為F為AB的中點，CD=2，AB=4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四邊形AFCD為平行四邊形，所以AD∥FC．又CC₁∥DD₁，FC∩CC₁=C，FC?平面FCC₁，CC₁?平面FCC₁，所以平面ADD₁A₁∥平面FCC₁，又EE₁?平面ADD₁A₁，所以EE₁∥平面FCC₁．

（2）連接AC，取F為AB的中點，在△FBC中，FC=BC=FB=2，
又F為AB的中點，所以AF=FC=FB=2，因此∠ACB=90°，即AC⊥BC．又AC⊥CC₁，且CC₁∩BC=C，所以AC⊥平面BB₁C₁C，而AC?平面D₁AC，故平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．
點評：本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．