Question

已知兩點(diǎn)A（-2，0 ），B（ 0，2 ），點(diǎn)P是橢圓

x2

16

+

y2

9

=1上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線 AB距離的最大值是

 

．

Answer 1

分析：由兩點(diǎn)坐標(biāo)得到，得到直線AB的方程，結(jié)合圖形得到與AB平行且與橢圓相切的直線與AB的距離最大，再利用兩平行線間的距離求出即可．

解答：解：由兩點(diǎn)A（-2，0 ），B（ 0，2 ），
則直線AB的方程為y=x+2，
由圖知，直線y=x+b（b＜0）和橢圓相切于P點(diǎn)時(shí)，到AB的距離最大．
聯(lián)立方程得到

y=x+b x2 16 + y2 9 =1

，
整理得25x²+32bx+16b²-144=0
由于直線y=x+b和橢圓相切，
則△=（32b）²-4×25×（16b²-144）=0
解得b=-5
由于y=x+2與直線y=x-5的距離為d=

|2-(-5)|

12+(-1)2

=

7 2

2

，
則點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為

7 2

2

．
故答案為：

7 2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵為：所求直線與AB平行且與橢圓相切．