Question

當定義在R上的函數f（x）滿足（x-1）f'（x）＜0（x≠1），且y=f（x+1）為偶函數，當|x₁-1|＜|x₂-1|時，有（　　）

A．f（x₁）＞f（x₂）

B．f（x₁）≥f（x₂）

C．f（x₁）＜f（x₂）

D．f（x₁）≤f（x₂）

Answer 1

分析：由y=f（x+1）為偶函數，可得y=f（x）關于x=1對稱．分三種情況進行討論：①當x₁≥1，x₂≥1時，則由|x₁-1|＜|x₂-1|
可得f（x₁）＞f（x₂）；②當x₁＜1，x₂＜1時，同理可得f（x₁）＞f（x₂）；③當x₁＜1，x₂≥1時，同理得f（x₁）＞f（x₂）；綜上得到答案．

解答：解：因為函數y=f（x+1）為偶函數，所以y=f（x+1）=f（-x+1），
即函數y=f（x）關于x=1對稱，所以f（2-x₁）=f（x₁），f（2-x₂）=f（x₂）．
當x＞1時，f'（x）＜0，此時函數y=f（x）單調遞減，當x＜1時，f'（x）＞0，此時函數y=f（x）單調遞增．
①若x₁≥1，x₂≥1，則由|x₁-1|＜|x₂-1|，得x₁-1＜x₂-1，即1≤x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）．
②同理若x₁＜1，x₂＜1，由|x₁-1|＜|x₂-1|，得-（x₁-1）＜-（x₂-1），即x₂＜x₁＜1，所以f（x₁）＞f（x₂）．
③若x₁，x₂中一個大于1，一個小于1，不妨設x₁＜1，x₂≥1，則-（x₁-1）＜x₂-1，
可得1＜2-x₁＜x₂，所以f（2-x₁）＞f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂）．
綜上有f（x₁）＞f（x₂）．
故選A．

點評：本題主要考查函數的導數與函數的單調性的關系，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．