Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，且AB=BC=1，AA₁=2．求：
①三棱柱的全面積S．
②三棱柱體積V．

Answer 1

分析：①根據AB⊥BC且AB=BC=1，利用勾股定理算出AC=

2

，根據直角三角形的面積公式，算出底面△ABC的面積．再由直三棱柱的性質，算出各個側面矩形的面積，將各個面的面積相加即可得到三棱柱的全面積S．
②根據柱體的體積公式，結合（1）中算出的數據加以計算，可得三棱柱體積V．

解答：解：①∵AB⊥BC，AB=BC=1，
∴S_△ABC=

1

2

×AB×BC=

1

2

，AC=

AB2+BC2

=

2

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴四邊形AA₁B₁B、四邊形AA₁C₁C和四邊形BB₁C₁C都是矩形，
∵AA₁=2，∴矩形AA₁B₁B的面積為 SAA1B1B=AA₁×AB=2，
同理可得 SAA1C1C=2

2

， SBB1C1C=2．
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面積為
S=2S_△ABC+ SAA1B1B+ SAA1C1C+ SBB1C1C=5+2

2

；
②∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，S_△ABC=

1

2

，AA₁=2
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為V=S_△ABC×AA₁=

1

2

×2=1．

點評：本題給出底面為等腰直角三角形直三棱柱，求它的表面積與體積．著重考查了直棱柱的性質、勾股定理、三角形與矩形的面積公式和柱體的體積公式等知識，屬于中檔題．